Composición de funciones – conceptos y ejemplos

Definición

Concepto de composición de funciones

Si tenemos dos funciones: $f(x)$ y $g(x)$ , de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de $f(x)$ el valor de $g[f(x)]$ , a esto se le conoce como composición de funciones $(g \ o \ f)(x)= g[f(x)]$ (se lee $f$ seguida de $g$ ).

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

Ejemplo

Ejemplo de una composición de funciones

Veamos un ejemplo con las funciones $f(x) = 2x$ y $g(x) = 3x + 1$ .

La composición de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ es: $(g \ o \ f)(x)= 6x+1$ , pues

$(g \ o \ f)(x)= g[f(x)]=g(2x)=3(2x)+1=6x+1$

Al evaluar algunos valores del dominio de la composición $D_(g \ o \ f)= \left \{ x\in \mathbb{D}_f /f(x)\in \mathbb{D}_g\right \}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}$ , tenemos que:

$D_(g \ o \ f) (-2)= 6 \cdot -2+1=-11$

$D_(g \ o \ f) (-1)= 6 \cdot 0 +1=1$

$D_(g \ o \ f) (0)= 6 \cdot +1=-11$

$D_(g \ o \ f) (1)= 6 \cdot 1+1=7$

$D_(g \ o \ f) (2)= 6 \cdot 2+1=13$

Problema resuelto

Sean las funciones:

$f(x)=3x+2$ $g(x)=\cfrac{x+3}{2x+1}$

Calcular:

a $g\circ f$
b $f\circ g$

1Sean las funciones:

$f(x)=3x+2$ $g(x)=\cfrac{x+3}{2x+1}$

Calcular:

a $g\circ f$
$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( 3x+2 \right )$

$=\cfrac{3x+2+3}{2(3x+2)+1}=\mathbf{\cfrac{3x+5}{6x+5}}$

b $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left (\cfrac{x+3}{2x+1} \right )$

$\displaystyle =3\left ( \cfrac{x+3}{2x+1} \right )+2= \frac{3x + 9}{2x + 1} + \frac{2 \cdot(2x + 1)}{2x + 1}=$

$\displaystyle = \frac{3x + 9}{2x + 1} + \frac{4x + 2}{2x + 1}= \mathbf{\cfrac{7x+11}{2x+1}}$

2Dadas las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$ $g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$ $h(x)=\cfrac{1}{x}$

Problema #2

Dadas las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$ $g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$ $h(x)=\cfrac{1}{x}$

Calcular:

a $g\circ f$
b $f\circ g$
c $h\circ g\circ f$
d $h\circ f\circ g$
e $f^{-1}$
f Probar que: $f^{-1}\circ f=x$
g Probar que: $f\circ f^{-1}=x$

2Sean las funciones:

$f(x)=\cfrac{1}{2x-1}$ $g(x)=\cfrac{2x-1}{2x+1}$ $h(x)=\cfrac{1}{x}$

Calcular:

a $g\circ f$

$g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )$

$=\cfrac{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )+1}$

$=\cfrac{\cfrac{2}{2x-1}-1}{\cfrac{2}{2x-1}+1}$

$=\cfrac{\cfrac{2-2x+1}{2x-1}}{\cfrac{2+2x-1}{2x-1}}$

$\mathbf{=\cfrac{3-2x}{2x+1}}$

b $f\circ g$

$f\circ g=f\left [ g(x) \right ]=f\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )$

$=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{2x-1}{2x+1} \right )-1}$

$=\cfrac{1}{\cfrac{4x-2}{2x+1}-1}$

$=\cfrac{1}{\cfrac{4x-2-2x-1}{2x+1}}$

$\mathbf{=\cfrac{2x+1}{2x-3}}$

c $h\circ g\circ f$

$h\circ g\circ f=h\left [ \left (g\circ f \right )(x) \right ]$

Ya sabemos que $g\circ f=\cfrac{3-2x}{2x+1}$
por lo que $h\circ g\circ f=h\left (\cfrac{3-2x}{2x+1} \right )$

$=\cfrac{1}{\cfrac{3-2x}{2x+1}}=\mathbf{\cfrac{2x+1}{3-2x}}$

d $h\circ f\circ g$

$h\circ f\circ g=h\left [ \left (f\circ g \right )(x) \right ]$

Ya sabemos que $f\circ g=\cfrac{2x+1}{2x-3}$

Por lo que $h\circ f\circ g=h\left (\cfrac{2x+1}{2x-3} \right )$

$=\cfrac{1}{\cfrac{2x+1}{2x-3}}=\mathbf{\cfrac{2x-3}{2x+1}}$

e $f^{-1}$
Para calcular $f^{-1}$ escribimos la función $f$ de la forma:

$y=\cfrac{1}{2x-1}$

y despejamos la variable $x$

$2x-1=\cfrac{1}{y}$

$2x=\cfrac{1}{y}+1$

$x=\cfrac{y+1}{2y}$

Cambiamos $x$ por $f^{-1}$ e $y$ por $x$

$\mathbf{f^{-1}=\cfrac{x+1}{2x}}$

f Probar que: $f^{-1}\circ f=x$

$f^{-1}\circ f=f^{-1}\left [ f(x=) \right ]=f^{-1}\left (\frac{1}{2x-1} \right )$

$=\frac{\cfrac{1}{2x-1}+1}{2\left ( \cfrac{1}{2x-1} \right )}$

$=\cfrac{\cfrac{1+2x-1}{2x-1}}{\cfrac{2}{2x-1}}$

$=\cfrac{2x}{2}=\mathbf{x}$

g Probar que: $f\circ f^{-1}=x$

$f\circ f^{-1}=f\left [ \left ( f^{-1} \right ) \right ]=f\left ( \cfrac{x+1}{2x} \right )$

$=\cfrac{1}{2\left ( \cfrac{x+1}{2x} \right )-1}$

$=\cfrac{1}{\cfrac{x+1}{x}-1}$

$=\cfrac{1}{\cfrac{x+1-x}{x}}$

$\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}}=\mathbf{x}$

La composición de una función con la función inversa es igual a la función identidad