Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar qué es el producto escalar de dos vectores, su expresión analítica, sus propiedades y cómo aplicarlo para calcular el ángulo que forman dos vectores. Con ejercicios resueltos paso a paso.

El producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, por definición, es el resultado de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

Siendo α el ángulo que forman los dos vectores:

¡Cuidado! El resultado del producto escalar es un número.

No confundir con el producto vectorial, cuyo resultado es otro vector. Además, el signo para representar el producto escalar de dos vectores es un punto, mientras que en el producto vectorial es una x.

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el producto escalar de dos vectores con la fórmula anterior:

Dados los siguientes vectores y sabiendo que forman un ángulo entre ellos de 87,7º, calcular su producto escalar:

Utilizamos la fórmula anterior para calcular el producto escalar de estos dos vectores:

Para ello, en primer lugar calculamos el módulo del vector u:

Después calculamos el módulo del vector v:

Y junto con el dato del ángulo, obtenemos el producto escalar:

Expresión analítica del producto escalar

Ahora vamos a ver otra expresión para calcular el producto escalar de dos vectores, sin necesidad de conocer el ángulo que forman entre ellos.

Si tenemos dos vectores, de los cuales conocemos sus componentes:

El producto escalar sería igual a la suma de la multiplicación de sus componentes x más la suma de sus componentes «y»:

A esta expresión se le conoce como expresión analítica del producto escalar.

Cómo calcular el ángulo de dos vectores

Combinando esta expresión con la fórmula del producto escalar por definición, se puede obtener el ángulo que forman dos vectores. Podemos despejar el coseno del ángulo, al conocer todo lo demás, ya que con la expresión analítica obtenemos el valor del producto escalar:

y resolviendo después el arco coseno del valor del coseno del ángulo que nos quede.

Vamos a ver un ejemplo: Calcular el producto escalar de estos dos vectores y el ángulo que forman entre ellos:

Como no tenemos datos del ángulo que forman estos dos vectores entre ellos, utilizamos la expresión analítica para calcular el producto escalar:

Seguimos calculando el módulo de cada vector.

El módulo del vector u es:

El módulo del vector v es:

Ya tenemos los valores del producto escalar y de los dos módulos, que los sustituimos en la fórmula de definición del producto escalar:

Ahora despejamos el coseno del ángulo:

Y por último hacemos la inversa del coseno para obtener el valor del ángulo que forman los dos vectores:

Por tanto, los vectores forman un ángulo entre ellos de 63,63º.

Propiedades del producto escalar

Vamos a ver ahora qué propiedades tiene el producto escalar

Propiedad conmutativa

Si variamos el orden del producto, el resultado del producto escalar sigue siendo el mismo:

Propiedad distributiva

El producto de un vector por la suma de dos vectores es igual a la multiplicación del vector que está fuera del paréntesis por el primer vector de la suma más el vector de fuera por el segundo vector de la suma:

Vectores perpendiculares u ortogonales

Dos vectores son ortogonales cuando son perpendiculares entre ellos, es decir, forman un ángulo de 90º.

A un vector perpendicular a otro también se le llama vector normal.

El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero:

ya que si calculamos el producto escalar aplicando la fórmula, tenemos que el coseno de 90º es igual a cero, por lo que anula el resultado del producto escalar:

Por otro lado, si los vectores, además de ser perpendiculares entre sí, su módulo es igual a 1, se dice que son vectores ortonormales:

En el ejercicio resuelto veremos cómo aplicar el producto escalar para obtener un vector perpendicular a otro.

Ejercicio resuelto del producto escalar de dos vectores

Vamos a resolver un cuantos ejercicio sobre el producto escalar de dos vectores para aplicar más a fondo todo lo aprendido aquí y para que te quede mucho más claro.

Dados los vectores:

Calcula:

a) El producto escalar de los dos vectores

b) El ángulo que forman

c) Un vector normal al vector u

d) Un vector paralelo al vector v

Vamos a empezar calculando el producto escalar. Como no tenemos ningún dato del ángulo que forman, utilizamos la expresión analítica:

Para poder hallar el ángulo que forman, vamos a seguir calculando sus módulos, para luego sustituir sus valores, junto con el valor del producto escalar en la fórmula del producto escalar.

El módulo del vector u es:

El módulo del vector v es:

Sustituimos en la fórmula del producto escalar por definición:

Despejamos el coseno del ángulo:

Y obtenemos el ángulo con la inversa del coseno:

Ahora vamos a calcular un vector normal al vector u.. Recuerda que vector normal es lo mismo que decir vector perpendicular.

Lo llamaremos vector w, cuyas componentes son (x,y), ya que todavía no las sabemos:

Para que el vector u y el vector w sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero:

Si utilizamos la expresión analítica realizar el producto escalar nos queda:

Tenemos dos incógnitas, x e y, por lo que para poder calcular su valor, necesitaríamos otra ecuación y resolver el sistema de ecuaciones que formen.

Sin embargo, sólo tenemos esta ecuación, así que una de las formas de llegar a la solución es aplicando la siguiente regla: para hallar las coordenadas de un vector normal a un vector dado solo tenemos que intercambiar las coordenadas entre sí y a una de las dos, cambiarle el signo.

Es decir, para cualquier vector de coordenadas (a,b):

Su vector normal tendrá las coordenadas:

O también:

Por tanto, el vector w, perpendicular al vector u tendrá como coordenadas:

Que realizando el producto escalar mediante al expresión analítica nos queda:

Lo que hacemos de esta forma es obligar en la ecuación a que un término anule al otro cuando sustituimos por sus valores.

Otra posible solución sería:

Si realizas el producto escalar con este vector comprobarás que el resultado también es cero. Si dibujas el vector u y los dos posibles vectores w, verás que efectivamente son perpendiculares.

Otra forma de obtener las coordenadas del vector perpendicular es darle un valor cualquiera a una de las coordenadas y calcular la otra.

Por ejemplo, voy darle a x el valor de 10 y lo sustituyo en la ecuación:

Ahora opero y despejo el valor de «y»:

Por tanto, el vector perpendicular w tendrá como coordenadas:

Por último, vamos a calcular un vector paralelo al vector v.

Para calcular un vector paralelo a otro, tan sólo tenemos que multiplicar sus coordenadas por un número y el vector resultante será un vector paralelo, pero con un módulo mayor.

A este vector le llamaremos z y para obtenerlo, multiplicaremos el vector v por 2:

Por tanto, el siguiente vector será paralelo al vector v:

Ejercicios propuestos

1 – Halla el producto escalar en del vector v y el vector w en los siguientes casos:

2 – Sean los vectores:

Calcula x e y, de manera que ambos vectores sean perpendiculares y el módulo del vector w sea igual a 13.

3 – Dados los vectores:

Hallar un vector c de manera que se verifique los siguiente: