Conocimientos previos – HM Soluciones T.I

Objetivos de Aprendizaje

Encontrar la pendiente de una recta en una gráfica.
Encontrar la pendiente de una recta dados dos puntos.
Encontrar la pendiente de las rectas x = a y y = b.
Escribir ecuaciones lineales en las formas punto-pendiente y estándar y definir sus partes.
Convertir ecuaciones de forma punto-pendiente a estándar y viceversa.
Aplicar la fórmula de ecuación lineal apropiada para resolver problemas
Establecer un método para obtener soluciones a los problemas prácticos

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Introducción

La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un carrito bajando una rampa o subir las escaleras. La rampa y la escalera tienen una pendiente. Puedes describir la pendiente de la rampa o de las escaleras considerando el movimiento horizontal y vertical. En una conversación, usas las palabras “gradual” o “empinado” para describir una pendiente. En una pendiente gradual, casi todo el movimiento es horizontal. En una pendiente empinada, el movimiento vertical es mayor.

Definiendo la Pendiente

La pendiente es muy similar a la de la vida diaria. En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas. Tan solo con mirar la gráfica de una recta, puedes saber algunas cosas sobre su pendiente, especialmente relativa a otras rectas graficadas en el mismo plano de coordenadas.

Concepto básico

La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.

Ecuación explícita de la recta. La ecuación explícita de la recta es y = m.x + n, donde m es la pendiente de la recta (es decir, la tangente del ángulo que la recta forma con el eje OX), y n es la ordenada en el origen ( es decir, la coordenada y del punto en el que la recta corta al eje OY).

¿Cómo encontramos la ecuación de la recta conociendo dos puntos?

Sean los puntos $A$ $\displaystyle (x_1 , y_1)$ y $B$ $\displaystyle (x_2 , y_2)$ que determinan una recta $r$ .

Un vector director de la recta es:

$\vec v=\vec AB$

Cuyas componentes son:

$v_1=x_2-x_1$ y $v_2=y_2-y_1$

Sustituyendo estos valores en la forma continua:

$\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Podemos encontrar la ecuación de la recta.

Pendiente de una recta dados dos puntos

Hallar la ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos

Hallar la ecuación de la recta que pasa por

sea el punto $A(1,3)$ y punto $B(2,-5)$

Sustituimos los valores en la forma continua: formula a reemplazar $\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$\displaystyle \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-3}{-5-3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8x+8=y-3$

Entonces, la ecuación de la recta es:

$8x+y-11=0$ ECUACIÓN EN SU FORMA GENERAL

para encontrar la pendiente procedemos a a cambiar la ecuación en su forma explicita. y = m.x + n

y = - 8x + 11 pendiente (m)= -8

Gráfica de una ecuación que pasa por dos puntos

Ecuación de una recta (punto – pendiente) • Ecuación de una recta (punto – intersección)

Las ecuaciones lineales pueden tomar varias formas, como la fórmula punto-pendiente, la fórmula pendiente-intersección, y la forma estándar de una ecuación lineal. Éstas formas permiten a los matemáticos describir la misma recta de distintas maneras..

Esto puede ser confuso, pero en realidad es bastante útil. Considera de cuántas maneras diferentes es posible escribir un pedido de leche en una lista de compras. Puedes pedir leche blanca, leche de vaca, un cuarto de leche, leche descremada, y cada una de éstas frases describiría exactamente el mismo producto. La descripción que uses dependerá de las características que más te importan.

Las ecuaciones que describen rectas pueden ser escogidas de la misma manera — pueden ser escritas y manipuladas con base en las características de la recta que son de interés. Incluso, si una característica es más importante, las ecuaciones lineales pueden convertirse de una forma a otra.

Forma Punto-Pendiente

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como. En ésta ecuación, m es la pendiente y (x₁, y₁) son las coordenadas del punto.

Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.

Ver mas Información autor.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

$3x+2y=1$

$x-5y=6$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( $x$ e $y$ $)$

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo anterior es

$x=1 y=-1$

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, $y$ . Una vez resuelta, calculamos el valor de $x$ sustituyendo el valor de $y$ que ya conocemos.
Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

Resolver