MRU

Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es una línea recta y su velocidad es constante. En este apartado vamos a estudiar las gráficas del m.r.u, es decir:

Movimiento rectilíneo en el que la velocidad no varía con el tiempo, es decir, la velocidad es siempre constante.

Para el estudio de este tipo de movimiento, el sistema de referencia suele tener su origen ( x = 0 ) en la posición del observador.

Tomando este sistema de referencia, las ecuaciones que definen las magnitudes del cuerpo en movimiento son:

Ecuación de la posición

x = x 0 + v \cdot t

donde:

x es la posición del cuerpo en movimiento dentro del sistema de referencia en un instante de tiempo t.
x_o es la posición inicial del cuerpo en el sistema de referencia.
v es la velocidad del cuerpo en el instante de tiempo t.

Ecuación de la velocidad

v = x - x 0 t - t 0

donde:

x es la posición del cuerpo en movimiento dentro del sistema de referencia en un instante de tiempo t.
x0 es la posición inicial del cuerpo en el sistema de referencia.
t₀ es la instante de tiempo inicial, es decir, el instante de tiempo en el que el cuerpo se encuentra en la posición x₀.

Ecuación de la aceleración

Dado que el cuerpo no cambia su velocidad, la aceleración en este tipo de movimiento siempre es nula.

a = 0

Gráfica posición-tiempo (x-t)

x = x 0 + v \cdot t

La gráfica posición-tiempo (x-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.). representa en el eje horizontal (eje x) el tiempo y en el eje vertical la posición. Observa como la posición (normalmente la coordenada x) aumenta (o disminuye) de manera uniforme con el paso del tiempo. Podemos distinguir dos casos, cuando la velocidad es positiva o negativa:

Gráfica posición - tiempo (x-t) en m.r.u.

A partir del ángulo α puedes obtener la velocidad. Recuerda para ello que, en un triángulo rectángulo se define la tangente de uno de sus ángulos como el cateto opuesto partido cateto contiguo:

tan α = cateto opuesto cateto contiguo = Δ x Δ t = x - x 0 t = v

El valor de la pendiente es la propia velocidad. Por tanto a mayor pendiente de la recta, mayor velocidad posee el cuerpo.

La gráfica velocidad-tiempo (v-t)

La gráfica velocidad-tiempo (v-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) muestra que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. De nuevo, podemos distinguir dos casos:

Gráfica velocidad - tiempo (v-t) en m.r.u.

Observa que el área que limitada bajo la curva v entre dos instantes de tiempo es el espacio recorrido.

Espacio recorrido en m.r.u. a partir de la gráfica velocidad - tiempo (área bajo la curva)

En este caso resulta inmediato calcular dicha área, al tratarse de un rectángulo. Pero, ¿sabrías qué herramienta matemática permite el cálculo de áreas bajo una curva, sea cual sea su forma?

Gráfica aceleración-tiempo (a-t)

a = 0

La gráfica aceleración-tiempo (a-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) muestra que la aceleración es nula en todo momento. En este caso, tanto si la velocidad del cuerpo se considera positiva como negativa, tenemos una sola posibilidad, ilustrada en la figura:

Gráfica aceleración - tiempo (a-t) en m.r.u.

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Ejemplo

Determina las gráficas de los siguientes movimientos rectilíneos uniformes:

x = 3 + 4·t
x = 3 - 4·t
x = -3 + 4·t
x = -3 - 4·t
3·x = 9 + 12·t

Donde x se mide en metros y t en segundos.

Ejemplo

Si una bola rueda por el suelo describiendo una trayectoria en línea recta y tomamos medidas de su posición en diferentes instantes de tiempo.

Posición (m)	0	12	24	36
Tiempo (s)	4	25	46	67

a) ¿La bola realiza un m.r.u.?
b) ¿Cuál es su velocidad?
c) ¿Cuál es su posición transcurridos 8 s?
d) ¿Cual es su desplazamiento tras 8 s?

SOLUCIÓN

Solución

Cuestión a)

Para poder establecer si se trata de un m.r.u., deben de cumplirse 2 condiciones:

1. Trayectoria en línea recta
2. Velocidad constante durante todo el movimiento,

El primero se cumple tal y como nos indican en el enunciado, solo nos falta comprobar el segundo.

Dado que, como podemos comprobar en la tabla los datos (muestras), se han ido tomando cada 21 s y durante ese tiempo el cuerpo se desplaza la misma cantidad, es decir, 12 m, es lógico afirmar que durante intervalos de tiempos iguales la bola se desplaza distancias iguales. Por tanto, sin lugar a dudas se trata de un m.r.u.

Cuestión b)

Dado que la velocidad es constante en este tipo de movimientos, podemos calcularla por medio de la definición de velocidad para dos instantantes cualesquiera. Por simplicidad tomaremos los 2 primeros:

Datos

xi = 0 m

xf=12 m
ti = 4 s

tf = 25 s

Resolución

En primer lugar, calcularemos el módulo del vector desplazamiento y el intervalo de tiempo:

Δ r = x f - x i

Δ t = t f - t i

Atendiendo a la definición del módulo de la velocidad O Vm:

Vm= Δ r/ Δ t

Vm= 0.57 m s /

Cuestión c)

Para calcular su posición a los 8 segundos, deberemos utilizar la ecuación de posición de este tipo de movimientos.

Datos

Posición inicial del movimiento: x₀= 0 m.
Tiempo inicial del movimiento: t_i = 0 s.
Tiempo final del movimiento: t_f = 8 s.
Velocidad: v = 0.57 m/s.

Resolución

Partiendo de la posición 0 m, queremos saber que posición tendrá el cuerpo cuando han transcurrido t = t_f-t_i = 8 s - 4 s = 4 s. Para ello aplicamos la ecuación de posición en los m.r.u.:

x = x 0 + v \cdot t

x = 0 m + 0.57 m s / \cdot 4

x = 2.28 m

Cuestión d)

Datos

Posición inicial del movimiento: x₀= 0 m.
Tiempo inicial del movimiento: t_i = 0 s.
Tiempo final del movimiento: t_f = 8 s.
Velocidad: v = 0.57 m/s.

Resolución

Para conocer cuanto se ha desplazado durante esos 8 segundos debemos conocer su posición a los 0s y a los 8s. La segunda posición la hemos calculado en el apartado anterior, sin embargo debemos calcular la primera:

x = x 0 + v \cdot t = 2.28

m = x 0 + 0.57 m s / \cdot 8 s \Rightarrow x 0 = - 2.28 m

Luego cuando se inició el movimiento se encontraba en la posición -2.28m.

Δ r = (2.28 - (2.28)) 2 -------------\sqrt \Rightarrow Δ r = 4.56 m

Resolver

1.La velocidad del sonido , 340m/s se toma como unidad de velocidad de los aviones y se llama “ MACH”. Un avión es supersónico cuando su velocidad es superior a un MACH . Si un avión vuela a 700 Km/h ¿ es supersónico ?

2. Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad
media de 90 Km/h ¿A qué hora llegará a su destino?

Dos pueblos que distan 12 km están unidos por una carretera recta. Un ciclista viaja de un
pueblo al otro con una velocidad constante de 10 m/s. Calcula el tiempo que emplea, medido
en segundos y en minutos.
Sol.: 1200 s; 20 min.

Un caracol recorre en línea recta una distancia de 10,8 m en 1,5 h. ¿Qué distancia recorrerá
en 5 min?
Sol.: 0,6 m

Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1200 cm/s durante 9 s, y luego
con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?
Sol.: a) 14161 cm b) 88,5 cm/s

Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía
en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?
Sol.: t = 6,18 s

La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300000 km/s. Se produce un
relámpago a 50 km de un observador.
a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?
b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?
Sol.: t = 151,514985 s

¿Cuánto tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300000
km/s y el Sol se encuentra a 1,5·1011
m de distancia.
Sol.: t = 500 s