Definición y ejemplo
Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma
siendo ">
Esta forma de escribir la función se denomina forma general.
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.
Ejemplo
Las parábolas tienen forma de "> "> "> "><0
Además de la orientación, el coeficiente "> ">a|
Vértice
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si "> ">0
La primera coordenada del vértice es
Y la segunda coordenada es su imagen:
Ejemplo
Calculamos el vértice de la función
Identificamos los coeficientes:
Como "> ">
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto
Gráfica:
Puntos de corte con los ejes
Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando "> "> ">
Una función corta al eje de abscisas cuando ">
Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.
Recordamos la fórmula que necesitamos:
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte de la función
Los coeficientes de la ecuación son "> ">b=0 ">
Eje Y:
El punto de corte con el eje Y es ">
Eje X:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Hay dos soluciones: "> ">
La segunda coordenada es ">
Por tanto, tenemos los puntos de corte
Formas factorizada y canónica
La forma factorizada de una función cuadrática es
donde "> "> ">x2 ">
- Si la ecuación
a x 2 + b x + c = 0 ">
no tiene soluciones, no podemos factorizar la función. - Si la ecuación sólo tiene una solución,
x 1 ">
, la forma factorizada esf ( x ) = a ( x − x 1 ) 2 ">
Ejemplo
En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función "> "> ">
La forma canónica de una función cuadrática es
donde "> "> ">
Ejemplo
Vimos en un ejemplo que el vértice de la función "> ">
Intersección de dos parábolas
Intersección de dos parábolas
Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.
Ejemplo
Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:
Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:
Las soluciones de la ecuación son "> ">
La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:
Por tanto, los puntos de corte son "> ">(−1,0)
Gráfica:
Resumen
Función cuadrática, ejercicios resueltos
Continuamos con nuestro curso de Cálculo, y hoy vamos a revisar el capítulo de función cuadrática. Hemos preparado varios videos y muchos ejercicios resueltos de diferente tipo para estar listos para el examen. Empezamos con un breve repaso de la teoría.
Repaso
Función cuadrática o de segundo grado
Es una función de la forma ax2 + bx + c; donde a,b,c ∈ IR (reales) y a ≠ 0.
Ejemplos: determinar si las siguientes funciones son cuadráticas o de segundo grado.
Formas de la función cuadrática
La función cuadrática se puede expresar de dos formas diferentes:
Siendo «h» y «k» los valores que nos darán la ubicación del vértice como veremos líneas abajo.
¿Cómo graficar una función cuadrática?
Cuando graficamos una función cuadrática, siempre obtenemos una parábola. Para graficar una función cuadrática, usamos a los siguientes puntos:
1 Vértice
El vértice de una parábola con coordenadas (h;k) se determina con las siguientes fórmulas:
2 Eje de simetría
Para encontrar la ecuación de la recta que define el eje de simetría, simplemente usamos esta fórmula:
3 Intersecciones con los ejes
Para encontrar la intersección de una función con el eje “x”, simplemente tenemos que realizar y = 0; y luego resolvemos la ecuación cuadrática que nos queda.
Para encontrar la intersección de una función con el eje “y”, simplemente tenemos que realizar x = 0; y luego resolvemos la ecuación que nos queda.
Guía de ejercicios
Hemos preparado una guía con muchos ejercicios diferentes de función cuadrática o de segundo grado, resolveremos varios en los videos.
Función cuadrática, ejercicios propuestos PDF
Función cuadrática, introducción
Veamos ahora el video de introducción a la función cuadrática con repaso de teoría y ejercicios resueltos sencillos.
Función cuadrática: forma canónica, vértice e intersecciones
Viene ahora los problemas de convertir una función cuadrática a la forma canónica.
Función cuadrática, aplicaciones
Terminamos con un ejercicio de aplicación de la función cuadrática.
Función cuadrática: problemas de exámenes de admisión
Nos solicitaron problemas de exámenes de admisión. Aquí un par de ejemplos de exámenes de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Pasar de forma polinómica a canónica
Veamos también como pasar una función cuadrática en forma polinómica a forma canónica. Lo haremos completando cuadrados:
La forma cuadrática que se plantea al final, en forma canónica es: y = 4(x+1)2 + 6
Reto
Luego de revisar los videos, es momento de resolver el siguiente reto: (encontrarás la solución líneas abajo).
Solución:
